若0<a．b．c<1，则三个乘机（1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于1/4。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 23:49:46
用反证法证明下～？谢谢

证明：
假若(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因为0<a．b．c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2
而由于a+b≥2√(ab), 则√(ab)≤(a+b)/2
所以有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2

这与前面所得的√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 相矛盾
所以假设不成立,
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于1/4